Ljudska bića su kroz povijest uvijek imala potrebu brojati, izražavati komercijalne operacije i rješavati druge probleme koji su se pojavili u razvoju matematike. Analizirat ćemo evoluciju različitih skupova, na način da svaki od njih bude sadržan u sljedećem.
Pod tehnikama brojanja podrazumijevamo bilo koji algoritam koji se koristi za brojanje, odnosno pronalaženje kardinala skupa. Unutar tehnika brojanja, kombinatorika zaslužuje poseban tretman: varijacije, permutacije i kombinacije; iako se time nećemo baviti u ovoj temi jer su već bili obrađeni.
U ovom postu proučavat ćemo jednu od najvažnijih primjena derivacija: jednadžbu tangentne linije i normalne linije; kao i razne aplikacije koje možemo pronaći. Počet ćemo s tumačenjem izvedenice, a zatim s tri vrste vježbi koje možemo pronaći:
UVOD Jules Henri Poincaré bio je francuski matematičar iz 19. stoljeća koji se isticao ne samo po svom matematičkom radu nego i po svom radu kao fizičar, teoretičar i filozof. Među njegovim najvažnijim radovima iz fizike ističu se oni koji se odnose na teoriju svjetlosti i elektromagnetskih valova.
Danas ćemo proučiti još jedno svojstvo funkcija (i/ili niza kao što ćemo vidjeti kasnije). Prvo ćemo proučiti kada kažemo da je funkcija ograničena odozgo, a kada je ograničena odozdo, da bismo konačno mogli ustanoviti kada je funkcija ograničena.
Zbog činjenice da su prirodni brojevi beskonačni, potrebno je tražiti skup riječi, simbola i pravila koji nam omogućuju određivanje prirodnih brojeva i obrnuto; dok mogu raditi s njima. U ovom ćemo postu definirati sustave numeriranja, njihova svojstva i neke od najčešćih, kao što je onaj koji koristimo:
Danas ćemo raditi sa zabavnom vježbom koja se može izvesti na svim razinama mijenjajući svoju složenost: magični kvadrati. magični kvadrati su tablice, ili bolje rečeno, mreže s cijelim brojevima na način da je zbroj brojki redaka i stupaca, kao i zbroj glavna dijagonala je uvijek ista veličina, nazvana magična konstanta.
Algebarski jezik je način prevođenja u simbole i brojeve onoga što obično smatramo određenim izrazima. Na ovaj način, nepoznatim se količinama može manipulirati pomoću simbola koji se lako zapisuju, što omogućuje pojednostavljenje teorema , formuliranje jednadžbi i nejednadžbi i proučavanje kako se riješiti ih.
Jučer smo radili studiju geometrijskih tijela. Danas ćemo nastaviti to proučavanje, ali u ovom slučaju nekih posebnih geometrijskih tijela, okruglih tijela. Okrugla tijela su geometrijski likovi koji imaju barem jedno zakrivljeno lice. Poznata su i pod nazivom tijela okretanja jer se sva dobivaju okretanjem lika oko osi.
Već znamo kako napraviti studiju slučajne varijable ovisno o vrsti u pitanju, vidjeli smo kako napraviti tablicu frekvencija i kako izračunati mjere položaja i disperzije. Danas ćemo se usredotočiti na različite načine na koje moramo predstaviti podatke prikupljene u tablicama učestalosti, što će ovisiti o vrsti varijable s kojom radimo.
Razlomak ili lomljenje je podjela nečega na dijelove. Ako uzmemo za primjer razlomak 2/4, on se čita kao dvije četvrtine, a ono što čini je označavanje dva dijela preko četiri ukupna dijela. Tada možemo vidjeti da ono što ovom razlomku daje ime je broj ispod kojeg nazivamo nazivnik budući da razlomak "
U području matematike, razlomak ili razlomak je podjela nečega na dijelove. Ako uzmemo razlomak ¾ kao primjer, on se čita kao tri četvrtine, a ono što čini je označavanje tri dijela preko četiri zbroja. Ovdje možemo vidjeti da ono što ovom razlomku daje ime je donji broj koji nazivamo nazivnikom jer razlomak nazivamo "
Nakon dugog, jako dugog ljeta, potrebno je vratiti se rutini. Osvrćemo se na matematiku i danas moramo proučavati karakteristike geometrijskih tijela, odnosno broj lica, vrhova, osi simetrije itd. Prvo ćemo početi s kockom: CUBE: 2. Vrsta figure:
Kombinatornom analizom označavamo onaj dio algebre koji se bavi proučavanjem grupa koje su formirane od danih elemenata, koji se međusobno razlikuju po broju elemenata koji su ugrađeni u svaku grupu, po vrsti elemenata i redoslijedu njihovog postavljanja.
Kao što već znamo, kombinatorika je dio algebre koji se bavi proučavanjem grupa koje se mogu formirati s određenim elementima, razlikujući između njih broj elemenata, njihovu vrstu i njihov redoslijed. Formirane grupe mogu biti varijacije, permutacije ili kombinacije.
Zračenje je definirano kao inverzna operacija potenciranja. Snaga je matematički izraz koji uključuje dva imenovana pojma: bazu a i eksponent n. Piše se kako slijedi: Čita se kao "a podignuta na n" Da bismo bolje razumjeli definiciju naselja, pretpostavimo da nam je dan broj a i tražimo da izračunamo drugi, takav da pomnožen sam sa sobom broj b puta daje nam broj a.
Kombinatorika je grana matematike koja se bavi proučavanjem konačnih skupova objekata koji zadovoljavaju određene kriterije i koja se posebno bavi brojanjem objekata u takvim skupovima. Drugim riječima, to je dio algebre koji je odgovoran za proučavanje grupa koje se formiraju, razlikovanje između njih broja elemenata koji čine svaku grupu, vrste tih elemenata i njihovog reda.
Nakon što su prikupljeni uzorci podataka koje ćemo proučavati, potrebno ih je grupirati u obliku tablice, ova tablica se zove distribucija frekvencije ilitablica učestalosti. U ovom ćemo se odjeljku usredotočiti na tablice učestalosti za jednodimenzionalne slučajne varijable (kasnije ćemo proučavati dvodimenzionalne slučajne varijable).
Nazvat ćemo kombinirane operacije one za koje se čini da se rješava nekoliko aritmetičkih operacija. Da biste dobili točan rezultat, potrebno je slijediti neka pravila i uzeti u obzir prioritet između operacija. Prije svega, sadašnji pojmovi moraju biti razdvojeni kako bi se svaki od njih kasnije mogao riješiti.
DEFINICIJA Neka je f kontinuirana funkcija definirana u domeni A, izvod funkcije f definiran je u točki a skupa A i označen je s f´(a), kada je sljedeća granična vrijednost: Ako nazovemo h=x-a, definiciju možemo napisati i na sljedeći način:
trigonometrijski identiteti su jednakosti koje uključuju trigonometrijske funkcije. Ovi identiteti su uvijek korisni kada trebamo pojednostaviti izraze koji imaju uključene trigonometrijske funkcije, bez obzira na vrijednosti koje su dodijeljene kutovima za koje su ti omjeri definirani.
Da bismo proveli statističku studiju karakteristike koju želimo proučavati u određenoj populaciji, potrebno je analizirati uzorak navedene populacije iz kojeg možemo dobiti specifične brojeve koji nam omogućuju analizu prikupljenih podaci. Za ovo ćemo koristiti tablicu frekvencija koju moramo pripremiti unaprijed.
Proučit ćemo novi koncept matematičke analize: kompozitnu funkciju. Složena funkcija je funkcija koja je formirana sastavom dviju funkcija, odnosno funkcija koja je rezultat primjene funkcije na x prvo, a zatim primjene nove funkcije na ovaj rezultat.
U današnjem članku vraćamo se na granu statistike kako bismo razgovarali o jednoj od najvažnijih diskretnih distribucija: Poissonovoj distribuciji. Ova se distribucija koristi u situacijama kada želite odrediti broj događaja određene vrste koji se događaju u danom prostoru ili vremenskom intervalu.
Danas ćemo proučiti jedan od tri najpoznatija problema antike: kvadraturu kruga,zapravo se smatra nemogućim problemom, a na kraju 19. stoljeća matematičar Ferdinand Lindemann pokazao je da je problem nerješiv zbog transcendentalnog karaktera broja pi.
U današnjem članku proučavat ćemo prikaz kvadratnih funkcija , odnosno jednadžbe drugog stupnja. Imajući na umu da grafovi jednadžbi drugog stupnja odgovaraju parabolama, u ovom ćemo postu proučiti njihove karakteristične elemente. PERFORMANCE Počet ćemo s prvim koracima koje ćemo uzeti u obzir za izvođenje prikaza kvadratne funkcije, koja kao što znamo ima oblik:
Nakon što vidimo relativne položaje dviju kružnica, danas ćemo proučavati kutove kružnice. Središnji kut: To je kut koji ima vrh u središtu opsega, odnosno kut određen s dvije zrake koje imaju ishodište u središtu, i stoga su polumjeri opsega.
Nije sve u matematici brojevi, teoremi, dokazi, izračuni… i još mnogo beskrajnih stvari koje zvuče jednako dosadno (iako za mene nisu). Danas ćemo otkriti književnu stranu velikog perzijskog matematičara koji je rođen u 11. stoljeću: Omar Jayyam.
Kada smo vidjeli metode koje postoje za rješavanje sustava linearnih jednadžbi, također ćemo proučiti kako riješiti neke od nelinearnih sustava koristeći ove metode. Vrlo je važno odabrati pravu metodu, inače bi njezino rješavanje moglo biti vrlo teško, teško i stoga lako napraviti pogreške.
U prethodnim prilikama proučavali smo neke od karakteristika kružnice, kao što su dodirne točke, odnosno relativni položaj kružnice i pravca. Ali sada je došlo vrijeme da proučimo više o geometriji kruga. Za početak ćemo vidjeti neke prethodne formalne definicije:
Danas ćemo proučiti različite metode za rješavanje sustava linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice. Sustavi linearnih jednadžbi su oblika: gdje su a, b, c, a´, b´i c´ realni brojevi. Za rješavanje ovog tipa sustava jednadžbi, to jest, pronaći vrijednost x i y koja zadovoljava obje jednadžbe;
Kada smo vidjeli kompozitnu funkciju, proučavat ćemo i inverznu funkciju. Budući da smo to već spomenuli u svojstvima složenih funkcija. Ovom prilikom proučit ćemo proces dobivanja inverzne funkcije, kao i vidjeti neke od najvažnijih primjera inverznih funkcija i kako su one predstavljene.
Glavni matematičar koji se smatra prethodnikom teorije skupova je George Cantor, njemački matematičar koji je živio između 1845. i 1918. Teorija skupova je grana matematike koja, kao što joj ime govori, proučava svojstva skupova. Skup je, prema Cantorovim riječima, skup objekata koji su jasno određeni i diferencirani kako kada ih promišljamo, tako i u našem razmišljanju, ova zbirka predmeta čini cjelinu.
Kopati ćemo malo dublje u Teoriju brojeva, predstavljajući novi koncept koji je u isto vrijeme svima dobro poznat: prosti brojevi. Ne znamo sa sigurnošću u kojoj su se godini pojavili prosti brojevi, ali prije više od 20.000 godina (što se uskoro kaže) čini se da su radili s njima ili ih barem poznavali, zbog tragovi pronađeni u kosti.
Nastavljamo s radom na Teoriji brojeva, danas su na redu Diofantove jednadžbe , koje su, kako im ime govori, zaslužne za Diofant, starogrčki matematičar čije je djelo bilo od velike važnosti i utjecaja na kasnije generacije. Problemi koje je Diofant obradio bavili su se isključivo numeričkim aspektima u kojima interveniraju svojstva cijelih brojeva.
Kao što smo spomenuli u prethodnim člancima, jedna od najvažnijih primjena u matematici je rješavanje problema optimizacije. Ali što podrazumijevamo pod problemima optimizacije? Kako ih možemo riješiti? Ne brinite, jer će ove i druge vaše brige biti riješene ako nastavite čitati.
Već smo mnogo puta radili s matricama i zapravo smo govorili i o rangu matrice; ali što podrazumijevamo pod rangom matrice? I kako to možemo izračunati? Ovo su pitanja na koja ćemo odgovoriti u ovom postu. Počet ćemo tako što ćemo prvo dati definiciju, a zatim ćemo pogledati dvije metode za pronalaženje ranga matrice:
linearno programiranje je metoda za rješavanje problema optimizacije koji su podložni nizu uvjeta ili ograničenja, koja su data nizom nejednakosti. Da bi se izvršilo rješenje ove vrste problema, potrebno je ta ograničenja prikazati u ravnini, što će dovesti do izvedive regije , tj.
Jedna od najvažnijih karakteristika pri izradi grafičkog prikaza funkcije je proučavanje njezine monotonije, odnosno gdje se naša funkcija povećava i smanjuje. Kao i određivanje maksimuma i/ili minimuma u slučaju da ih je imala. Također, ako još uvijek sumnjamo u prikaz, možemo također proučiti njegovu zakrivljenost i točke pregiba.
Tales iz Mileta (630. pr. Kr. – 545. pr. Kr.) bio je jedan od najpoznatijih grčkih filozofa, ali ne samo da se ističe po tome, nego kao i svi mudraci toga vrijeme, također se istaknuo kao znanstvenik i matematičar, gdje su njegovi doprinosi geometriji vrlo važni, a jedan od tih doprinosa je i onaj na koji ćemo se usredotočiti, dobro poznati “Thalesov teorem”.